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[Oct 18, 2010]

物理:碎形幾何學之父曼德博(Benoit B. Mandelbrot)逝世


編輯 Gene 報導

在七○年代提出「碎形」(fractal,又稱分形)理論而有「碎形幾何學之父」尊稱的法裔美國數學家本華·曼德博(Benoit B. Mandelbrot,別譯曼德布洛特),14日因胰臟癌在美國麻薩諸塞州劍橋市病逝,享年85歲。

本華·曼德博(1924-2010)生於波蘭華沙,父親是成功的成衣批發商,母親是牙醫。他幼年隨全家移居巴黎,幸運躲過納粹的大屠殺。1936年隨全家移居法國巴黎,在那裡經歷了動蕩的二戰時期。1947年畢業於巴黎綜合理工學院(Ecole polytechnique),1948年在加州理工學院獲得航空碩士學位,1952年在巴黎大學獲得數學博士學位。

曼德博的學術生涯大部分在IBM公司裡度過,後來成為耶魯大學斯特林數學科學講座教授。曼德博曾榮獲沃爾夫獎(1993年)和日本國際獎(2003年)。曼德博大半生均在美國度過,擁有法國和美國的雙重國籍。本華·曼德博是他所用的中文名,在他的個人網頁首頁可以見到。

曼德博的研究範圍廣泛,從數學物理到計量金融,但他最大的成就則是創立了碎形幾何學。他創造了「碎形」這個名詞,有「零碎」、「破裂」之意。並且描述了曼德博集合(Mandelbrot set)。他也致力於向大眾介紹自己的理論,通過科普著作和演講,使他的研究成果廣為人知。

1975年,曼德博提出了「碎形」一詞。曼德博於1982年出版影響深遠的著作《自然的碎形幾何學》(The Fractal Geometry of Nature)。他所發展出來的碎形幾何學後來被用來量測諸如雲和海岸線等以往被認為是不可能量測的自然現象。

碎形一般有以下特質:

一、在任意小的尺度上都能有精細的結構。

二、太不規則,以至難以傳統歐氏幾何(Euclidean geometry)的語言來描述。

三、自相似(至少是大略或任意地),意即物體和它本身的一部分完全或是幾乎相似。若說一個曲線自相似,即每部分的曲線有一小塊和它相似。自然界中有很多東西有自相似性質,例如海岸線。

四、郝斯多夫維數(Hausdorff dimesion)會大於其拓撲維數(topological dimension)〔但在空間填充曲線如希爾伯特曲線(Hilbert curve)中為例外。希爾伯特曲線是一種能填充滿一個平面正方形的碎形曲線,由於它能填滿平面,它的郝斯多夫維度為2〕。透過郝斯多夫維度可以給一個任意複雜的點集合比如碎形賦予一個維度。對於簡單的幾何目標比如線、長方形、長方體等郝斯多夫維度等同於它們通常的幾何維度或者說拓撲維度。通常來說一個物體的郝斯多夫維不像拓撲維度一樣總是一個自然數,而可能會是一個非整的有理數或者無理數。

五、有著簡單的遞歸定義(recursive definition)。

因為碎形在所有的大小尺度下都顯得相似,所以通常被認為是無限複雜的。自然界裡一定程度類似碎形的事物有雲、山脈、閃電、海岸線和雪花等等。但是,並不是所有自相似的東西都是碎形,如實線雖然在形式上是自相似的,但卻不符合碎形的其他特質。

六○年代,曼德博開始研究自相似,且寫下一篇論文〈英國的海岸線有多長?統計自相似和分數維度〉(How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension)。最初在1967年於期刊Science發表。在這篇論文內曼德博討論了維度於1和2之間的自相似曲線。雖然曼德博沒有用「碎形」這個詞彙,但這些曲線都是碎形。

論文的首部分,曼德博討論了Lewis Fry Richardson對海岸線與其他自然地理界線的測量出來的長度,是如何依賴測量的尺度。Richardson觀察到,不同國家邊界測量出來的長度L(G)是測量尺度G的一個函數。他從不同例子搜集資料,然後猜想L(G)可以透過以下形式的一個函數來估計:

L(G) = MG1 − D

曼德博詮釋此結果為海岸線和其他地理界線可有統計上自相似的性質,而指數D則計算界線的郝斯道夫維度。Richardson的研究的例子的,有從南非海岸線的1.02到英國西岸的1.25的維度。

在論文的第二部分,曼德博描述了不同的關於科赫雪花(Koch snowflake)的曲線。科赫雪花其郝斯多夫維是log4 / log3。它最早出現在Helge von Koch的論文〈關於一條連續而無切線,可由初等幾何構作的曲線〉(1904年,Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction geometrique elementaire)。

科赫雪花是標準的自相似圖形。曼德博揭示計算它們的郝斯道夫維度的方法,它們的維度都是1和2之間。他亦提及填滿空間、維度為2的皮亞諾曲線(Peano curve)。

這篇論文的重要性在於,因為它既顯示了曼德博早期對碎形的思想,同時又是聯結數學描述和自然形態的的例子,成為曼德博日後許多研究的主題。

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Re: 碎形幾何學之父曼德博(Benoit B. Mandelbrot)逝世 yubowl Jul 02, 2011
Re: 碎形幾何學之父曼德博(Benoit B. Mandelbrot)逝世 t131415 Jun 29, 2011
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