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人可以同時唱出兩個聲音嗎?
泛音唱法的物理基礎

 

蔡振家
德國柏林洪堡大學音樂學博士班

摘要

    泛音唱法(overtone singing)的歌唱方式是保持一個低音的音高不變,但依次凸顯其泛音列上的音,所以能在持續的基音上同時唱出另一個高音聲部。本文將簡介泛音唱法的技巧與聲學模型,並提出 Helmholtz 共振子(resonator)的新解釋,這個模型並在筆者所進行的「口簧琴╱泛音唱法」實驗中得到證實。


目次


引言

    要奏出旋律可以有兩種方式,第一種方式是改變音高,第二種方式是固定基音的音高但依次凸顯泛音列上的不同的音,由這些泛音串成一條旋律線。以第二種方式來演奏音樂的樂器非常少,主要有口簧琴、口弦(這些都是台灣原住民所用的樂器),而用這種"另類"方式來唱歌的藝術,則稱為「泛音唱法」(overtone singing)。這些泛音旋律線的產生,都是以口腔作為共鳴腔,因為舌頭可以調整此共鳴腔的大小。

    泛音唱法發源於蒙古、西藏、吐瓦1、西伯利亞等地,當西方人在十九世紀初次接觸到這種歌唱方式時,莫不大感驚異,因為歌者能在一個持續的低音之上,同時唱出另一個像口哨聲的高音,故這種唱法也稱為「雙聲唱法」(double-voice singing),在發源地則被稱為「喉音唱法」(throat singing)。這種唱法雖然非常另類,但並非魔術,更不是因為蒙古人有特殊的聲帶構造,相反的,它是一種人人可學的歌唱技巧,近三十年來,西方樂壇中出現不少學習泛音唱法有成的音樂家,影響遍及古典與流行樂界。2000年十月於台北舉辦的「亞太藝術論壇」中,來自吐瓦共和國的樂團一鳴驚人,民族音樂學家陳光海在關渡藝術學院講授泛音唱法的講座場場爆滿,筆者也跟在場的聽眾一樣,沉迷於這聞所未聞的歌聲中,時時刻刻都在揣摩、練習泛音唱法。

    本文除了介紹泛音唱法的主要技巧,將提出新的聲學解釋:Helmholtz共振子,並以自己所唱的聲音來證實此一模型。


內文

    首先介紹一些基本的聲學觀念。

    由傅立葉理論可知,任何周期波都可以分解為許多正弦波的疊合,這些正弦波的頻率是該波頻率的整數倍,稱為泛音。不同樂器的音色不同,主要的差別便是它們所產生的聲音各個泛音間的相對強度不同所致,所謂的頻譜(spectrum)可將這些泛音的相對強度顯示出來。圖1A是撥動口簧琴後所產生的聲波,經過傅立葉分析可得到其頻譜(圖1B),可以觀察到,它的基音最強(約167Hz),高泛音則弱得多,另外,它的偶數倍的泛音比較弱,這暗示著口簧琴的振動頗為對稱。

圖1A

圖1B

 

    聲源的頻譜經過共鳴腔的作用後可以產生很大的變化,圖1D是口簧琴放在口邊演奏的頻譜,它經過口腔的共鳴後,一些高泛音被凸顯出來。一個共鳴腔的共鳴效果由共鳴曲線(resonance curve)來表示(圖1C),聲源頻譜與共鳴曲線兩個函數相乘之後,才是最後所得聲音的頻譜(圖1D)。

圖1C

圖1D

 

1. 泛音唱法的技巧


    專精於泛音唱法的吐瓦人,他們指涉歌唱技巧的名目繁多,在此無法一一介紹,但最重要的大約只有兩種:Sygyt 與 Kargyraa,這兩種唱法都用到第 6、8、9、10、12、13泛音,從泛音列的樂譜(圖2)可以看出,這些音恰好構成了五聲音階。

圖2  吐瓦、蒙古人的泛音唱法所使用到的音,即圖中的黑色音符 

    Sygyt 原意為吹口哨,這種演唱技巧的重點是將舌頭拱起,在口腔前端隔出一個小的共鳴腔,同時喉部發出緊而扁的嗓音(這種嗓音的高泛音比較明顯),經由舌頭的前後移動,改變共鳴最強的泛音,共鳴腔越小,則所強調的泛音越高(圖3)。

圖3A  Sygyt 泛音唱法,舌頭由後向前、再由前向後移動,可得此旋律線

圖3B  Sygyt唱法的技巧,舌頭拱起,在前端造出共鳴腔 (http://www.sciam.com/1999/0999issue/0999levinbox6.html)

 

    Kargyraa 演唱技巧的重點,是要運用「假聲帶」以唱出極低的基音2,舌頭平放,經由張口的大小來改變共鳴最強的泛音,張口越大,則所強調的泛音越高。Kargyraa 的演唱方式跟西藏喇嘛唱梵的原理相同,他們在打坐冥想時會發出這種極低的嗓音,故此發聲狀態亦稱為 chant mode(圖4)。

圖4  Kargyraa 泛音唱法需要發出一個50-60Hz的低音,要有效發出這樣不可思議的低音(西方歌劇歷史上最低音唱到65Hz)只有一個辦法:運用假聲帶可以將正常的聲音降低八度,藉此進入了極不尋常的 chant mode。

    無論是那一種泛音唱法的技巧,都與平常說話、唱歌時運用聲帶的方式不同,故蒙古人也強調,若學習方式錯誤,泛音唱法可能會對嗓子有害。

 

2. 人聲的物理原理--管模型


    在談泛音唱法的物理原理之前,我們必須對人的發聲系統先有一番瞭解。

    在中學理化課中,我們都學過開管與閉管中的駐波,開口端是速度通量波函數 U(x )的波腹,閉口端是 U(x)的波節。成年人的發聲系統類似於一個約 17公分長的圓柱管,它在嘴巴這端是開口的,在聲帶這端被視為是閉口的,理論上,這種管子裡的駐波頻率約為 500Hz、1500Hz、2500Hz....等,這些可形成駐波的頻率在管中有特別好的共鳴,故於頻譜上顯示出高峰,它們被稱為 formant。舉例而言,當我們唱出母音ㄜ時,無論音高如何,其接近於 formant附近的泛音會比較強(圖5)。

圖5  母音ㄜ的前三個 formant:F1=600Hz,F2=1500Hz,F3=2700Hz

 

    在語音分析中通常處理最低的三個 formant,記為F1、F2、F3。由於舌頭、鼻腔及張口大小等變因的緣故,人的發聲管道並非是個管徑一致的圓柱,因此 formant 也會隨之而變。人之所以能辨識不同的母音,一般認為是各個母音的 F1、F2、F3都不同,而這主要是經由口腔形狀被舌頭改變所致。

    要計算在管徑不均勻的管中的聲波,理論上是要解所謂的 Webster Equation,這個偏微分方程式只在某些形狀的管--例如圓柱、圓錐、指數函數等--能夠解得出來,不過,若此管近似於某個可解的形狀,則我們可以用變分法的技巧,來大略估計管徑微調所導致的波形與頻率變化。假設一個圓柱形的管子在Q點的截面積有微小的增加,Q點若在壓力波的波腹,則該處管徑略增會導致頻率略降;Q點若在壓力波的波節,則該處管徑略增會導致頻率略增。

    用管模型與變分法可以解釋泛音唱法中的 Kargyraa 技巧,因為Q點的所在:嘴巴,是所有壓力波駐波的波節,故嘴巴張越大,該處管徑越大,相應的,所有駐波的頻率會增加,因此在圖6中我們可以看到兩個平行移動的 formant。

圖6  Kargyraa 唱法,張口越大則F1與F2升高,反之則一齊下降。此首吐瓦人所唱的歌中3 ,基音並不明顯,反而是比基音高兩個八度的音很明顯。所同時唱出的這三個聲部,宛如歐洲中世紀的平行Organum曲式。 ( 聲音檔 http://www.sciam.com/1999/0999issue/ IMG/track8.mov )

    關於人聲的管模型有許多語音學的研究,他們用電腦模擬管徑變化下的聲波,以解釋各種母音的 formant 頻率,關於泛音唱法中的 Sygyt技巧,也有人用傳統語音學的管模型來處理,但我認為這個方式行不通,因為在 Sygyt 唱法中無法觀測到三個 formant,反而是一個共鳴頻率極為凸出,這暗示著「球模型」的存在。以下我將以另一個模型:Helmholtz共振子,來解釋 Sygyt 唱法的聲學原理。

 

3. 受迫振盪系統及其阻抗

    就物理特性而言,Helmholtz 共振子可以類比為一個受迫振盪系統 (forced oscillation),而它具有一個共振頻率的現象,其實就是受迫振盪系統的共振現象,在此,我們必須先對受迫振盪系統有一番瞭解。
相信大家對於簡諧運動都不陌生,它的固有振動頻率f0取決質量 m 與彈性係數 K。

ω0 = 2πf0 = ( K / m )-1/2

現在我們進一步考慮這個振盪系統被一個周期性的外力 F0cosωt 所牽引,同時假設摩擦力正比於運動速度,這樣的系統稱為受迫振盪系統,它的運動方程式是

mxtt + Rxt + Kx = F0 cosωt

其中,R是阻尼係數,ω是外力的角頻率。為了計算上的簡潔起見,通常把上式改寫為複數形式

mxtt + Rxt + Kx = F0 eiωt = F0 ( cosωt + i sinωt ) = F

此處的 x(t) 為複數,要得到真正的物理量只要取它的實部即可。這樣一個受迫振盪系統會以跟外力同樣的周期來振盪,但通常不是同步振盪,而是會有相位差的存在。接著介紹阻抗(impedance)的觀念,它被定義為外力與速度的比

Z = F/v = R + i (ωm - K/ω)

系統的振動 x(t) 可寫為

x = F0 ejωt / iωZ

x= F0/ω/Z  

在固定的 F0下,此系統隨外力的頻率不同而有著不同的振幅,當外力的振動頻率差不多等於原簡諧系統的固有頻率時,此系統的振幅最大,這個現象稱為共振(resonance)。我們可以依據上式畫出振幅隨 ω 變化的曲線,這就是圖1C 的共振曲線,可以看到,此曲線在該系統的固有頻率 3000Hz 左右達到高峰。

    觀察阻抗Z可以發現它有三項,一個是常數R,另外兩項為純虛數,相應於慣性的阻抗項與 ω 成正比,而相應於彈性的阻抗項與 ω 成反比。

Z = F/v

Zmass = mωi

Zspring = K /ωi

Zresist = R

 

圖7  阻抗 Z 的三種成份

4. Helmholtz共振子的兩種情形 4:Sygyt唱法與口簧琴

    在濾波器還沒發明時,Helmholtz 曾想到一個巧妙的辦法來測量一個音各個泛音之強度。他造了許多大小不同的玻璃或金屬製的圓球來當共鳴腔,球的兩端開洞,一端輸入聲音,另一端用耳朵聽。由於這個圓球對某頻率附近的聲波有特別好的共鳴效果,Helmholtz 便能用它將其它的泛音濾掉,只留下接近於此球共振頻率的泛音,這種具有一個共振頻率的共鳴體,後來便統稱為 Helmholtz 共振子。

圖8  Helmholtz Resonator,此圖摘自Helmholtz著Die Lehre von den Tonempfindungen(1885)

 

    我們可以想像 Helmholtz 共振子是一個具有短頸的球體,球內的空氣像彈簧一樣具有彈性,而頸部的空氣像是被推動的活塞,以質量 m 前後振動,因此,Helmholtz 共振子便具有跟簡諧系統相同的特性,它的阻抗被定義為壓力波與速度通量波的比 Z = p/U,它也有三個成份,如圖9所示。其中 V 為球體的體積,S 為頸的截面積,L 為頸長,ρ 為空氣密度,c 為音速。

Z = p/U

Ztube = (ρL/S )ωi

Zcavity = (ρc2/V ) /ωi

Zresist = R

 

圖9  Helmholtz 共振子的阻抗 Z

    在容器內的聲波振盪,其阻尼係數 R 有兩個來源。我們知道空氣是具有黏滯性的流體,當它平行於靜止的管壁運動時會產生摩擦,另外,若容器壁並非剛體,局部的氣壓變化會導致容器壁的微小形變,通常空氣會對它作功。以上這兩個阻尼係數的生成原因分別源自 U 與 p,但不管是摩擦或熱膨脹,這些聲波能量的損耗都會變成熱能被空氣或容器吸收。

    Helmholtz 共振子作為一個受迫振盪系統,它可以從外部施力,亦可由內部施力,這兩種情形分別對應於口簧琴與 Sygyt 泛音唱法,而 Helmholtz 共振子的短頸即為門牙至唇的一小段空氣柱。

    從圖3可知,Sygyt 唱法的特色是舌頭拱起、貼近上顎,以窄小的通道相連至舌頭前方的主共鳴腔,當聲波從窄管進行到豁然開闊的共鳴腔時,絕大部份會反射回管內,猶如開口端的管口情形一樣,因此我們可以假設舌頭拱起處為速度通量波的波腹,為了模擬此處的空氣通量之振盪,想像在共鳴腔壁上有個活塞,其振動時給與共鳴腔速度通量 U1,如此一來,這個活塞便可代表窄管管口的空氣振動,此即 Helmholtz共振子由內部施以振盪的情形,如圖10所示。

口簧琴的模型

Sygyt唱法的模型

 

圖10  Helmholtz共振子的兩種情形

 

    現在讓我們先來計算口簧琴的模型,也就是Helmholtz共振子從管口施以正弦壓力波p1,它導致了管口速度通量波 U

U = p1/(Ztube + Zcavity + Rviscosity + Rthermal)

其中 R 拆為兩項,是分別要對應於管頸壁上的空氣摩擦力以及球體壁的熱損耗。我們可以依據上式畫出U隨 ω 變化的曲線,它在該 Helmholtz 共振子的固有頻率附近出現了唯一的尖峰,見圖10

接下來我們計算 Sygyt 唱法的模型,也就是 Helmholtz 共振子從內部施以速度通量振盪 U1,它導致了管口速度通量波 U。考慮管頸的空氣柱,它在壓力 p下以 U 振盪

p = (Ztube + Rviscosity)U

再考慮球體內的空氣,它在壓力 p 下所產生的體積變化為 U1-U

p = (Zcavity + Rthermal) (U1 - U)

由前兩個式子可得

U = U1 (Zcavity + Rthermal) / (Ztube + Zcavity + Rviscosity + Rthermal)

依據上式,我們可以畫出 U 對 ω 的曲線,它也在該 Helmholtz 共振子的固有頻率附近出現了唯一的尖峰,見圖10

    至此我們可以知道,在同一形狀的共鳴腔下,口簧琴與 Sygyt 唱法的共振頻率是一樣的。為了證實這個理論,我設計了一個小小的實驗。首先我以 Sygyt 技巧唱出某個聲音——當然它必須有個特別凸出的泛音清晰可聞才算及格——然後,我保持口形不變,忽然中止歌聲,並隨即在口邊彈響一個口簧琴,這全部的過程以麥克風錄下聲音,最後再以電腦分析 Sygyt 唱法與口簧琴兩個聲音的頻譜,由於兩者是使用同一形狀的共鳴腔,只是分別從內部╱外部施以振盪,理論上,其曲線的尖峰會發生在差不多同樣的頻率,也就是該共鳴腔的固有頻率附近。

    以下是我進行此實驗的結果,我分別用四個舌頭位置造出由大至小不等的共鳴腔,它們的固有頻率分別為 700Hz、1300Hz、1700Hz、2100Hz:

 

5. 管模型與Helmholtz共振子模型的適用範圍


    Sygyt 唱法的特色是舌頭拱起、貼近上顎,以窄小的通道相連至主共鳴腔,這種形狀與管模型"大相庭逕",從口簧琴的實驗可知,舌頭後面的管可以說無足輕重。

    Sygyt 泛音唱法不能用管模型來解釋,還有一項證據,就是 formant 的頻寬(bandwidth)。由語音學家Bloothooft 等人所作的泛音唱法研究(1992),把凸出的泛音解釋為 formant,但他們也承認,母音的 formant 從來就不曾出現過像泛音唱法中如此尖銳的峰。我們知道頻寬是振盪系統中的阻尼係數所導致,在管模型中,17cm的管長造成許多空氣分子與管壁的磨擦,阻尼係數較大,故 formant 的頻寬較大;反之,在球模型中,只有唇齒間的通道造成空氣分子與管壁的磨擦,而直徑不及三公分的共鳴腔內的熱損耗也不大,故這個 Helmholtz 共振子的阻尼係數比 17cm 的管更小,這才是 Sygyt 唱法中頻寬如此小的原因。

    Helmholtz 共振子是解釋聲音共振現象最簡單的模型,但它只在低頻行得通,因為該模型中假設共鳴腔各處的空氣密度與壓力相等,若聲波波長遠較共鳴腔的尺度大得多,這個假設沒有問題;但若波長不及共鳴腔的四倍,這個前提便不能成立,因為聲波從共鳴腔此端傳至彼端時,已有了顯著的相位差。在口簧琴與 Sygyt 泛音唱法中,唇與舌之間的距離在三公分以內,故頻率在 2800Hz 以下的聲波大約可適用於 Helmholtz 共振子模型。


結論


    泛音唱法中,Kargyraa 唱法適用於管模型,但 Sygyt 唱法適用於球模型,也就是 Helmholtz 共振子理論,這個假說可以經由口簧琴的實驗(由外部施以振盪),來跟從內部施以振盪的 Sygyt 唱法比較,從而得到證實。這個模型也解釋了 Sygyt 唱法的頻譜中存在著遠比 formant 尖銳的峰,因為舌頭前端的共鳴腔小,裡面聲波的熱損耗比 17cm的管模型小。

    筆者學習泛音唱法的時間不到半年,要唱出清楚的旋律還不易辦到,不過唱唱單音當作實驗樣本,倒也還堪用,本文中所分析的聲音樣本(口簧琴或泛音唱法)都是由筆者所演奏(唱),只有圖6所分析的音樂是真正由吐瓦人演唱,該曲的樂譜刊登在《科學美國人》出現了一些錯誤(Levin1999),故本文予以補充更正 5

    泛音唱法在許多國家都有不少愛好者,但在台灣尚未引起廣泛注意,市面上可買到有風潮唱片所出版的CD,網路上也有一些聲音檔,對此另類歌聲有興趣的人不妨買來一聽。


參考資料

Bloothooft, G., Bringmann, E., Capellen, M., Luipen, J., Thomassen, K. (1992) 'Acoustics and Perception of Overtone Singing,' The Journal of Acoustical Society America, 92, No. 4, Part 1, 1827-836.

Chernov, B. and Maslov, V.(1987)'Larynx double sound generator,' Proc. XI Congress of Phonetic Sciences, Tallinn 6, 40-43.

Dmitriev, L.B., Chernov, B.p., and Maslov, V.T. (1983) 'Function of the Voice Mechanism in Double-Voice Touvinian Singing,' Fol. Phoniarr. 35, 193-197.


Fletcher, N., Rossing, T.D. (1991) The physics of musical instruments. Springer: New York.

Gibiat, V., Castellengo, M. (2000) 'Period Doubling Occurences in Wind Instruments Musical Performance,' Acustica 86, 746-754.

Levin, T. C., Edgerton, M.E. (1999) 'The Throat Singers of Tuva,' Scientific American.

網路資源

http://www.sciam.com/1999/0999issue/0999levin.html
科學美國人期刊中的文章,圖文並茂之外,並有聲音檔與X光影片。

http://clubs.yahoo.com/clubs/tuvanthroatsinging/
雅虎網站上的泛音唱法俱樂部。

http://www.avantart.com/postcards/etuva.html
以吐瓦的風景與音樂為主題的電子卡片。

http://download.cnet.com/
此處可以找到一些實用的頻譜分析軟體,如Spectrogram、Frequency analyzer等。


註解

1 位於唐努烏梁海、阿爾泰山附近。

2 假聲帶平行於聲帶上方,形狀類似聲帶,但功能是控制氣流,並非發聲器官,唯聲帶已切除的患者經過訓練之後,能夠以假聲帶來說話。Dmitriev(1983)、Chernov 與 Maslov(1987)根據X光片的觀察,提出Kargyraa 唱法運用假聲帶的可能性。Gibiat(2000)則提出 Kargyraa 唱法將音高降低八度的原理,應為混沌或非線性理論中的「周期倍增」(period doubling)現象,但未述及細節。

3 此曲採自網站 http://www.sciam.com/1999/0999issue/IMG/track4.mov 的錄音,該文(Levin 1999)中所記的樂譜有誤,其未考慮到最高的聲部,持續低音的記譜也比實際聽到的音低了兩個八度。

4 本節的理論與計算在相當程度上參考了 Fletcher 與 Rossing 所著的 The physics of musical instruments 書中151-155頁,但該處計算阻尼係數時僅考慮空氣與管壁的摩擦,我則進一步將共鳴腔柔軟的腔壁所導致的熱損耗考慮在內。

5 關於基音的音高,該文中記譜的是 virtual pitch,也就是頻譜上相鄰泛音間的距離,而本文記譜的是 spectral pitch,也就是頻譜上最低的譜線,因此比 virtual pitch高了兩個八度。


作者介紹

蔡振家,台大物理系畢業,國立藝術學院傳統藝術研究所碩士,現就讀於柏林洪堡大學音樂學博士班,以中國笛的笛膜為題,從物理及心理聲學 (psychoacoustics) 的角度寫博士論文。

個人網站: http://members.tripod.com/gia_5/fractal/

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