- Bell 定理
- 1964 年，J.S.Bell 在 Physics I 上發表了一篇論文，指出任何企圖保持Einstein 定域性原則的隱變量理論都將不能和量子力學相容．這是著名的Bell 定理．Bell 利用 Bohm 的單態粒子對實驗推導了一個不等式，說明了定域性隱變量理論的相關性(correlation)和量子力學是不同的．
- 假設如同前面 Bohm 的實驗裝置，A, B 偵測器可以被安排成測量 a, b, c 三個不同方向的自旋分量．a, b, c 三個方向是任意的，不需要互相垂直，甚至可以在同一個平面上．
- 如果，粒子從發射器出發之時已帶有某種「密碼」(這是定域性隱變量理論所預期的)，如 (a+,b+,c-), 代表了粒子進入 a 方向的偵測器結果將是正的， b 方向結果也是正，而 c 方向結果為負．由於兩個粒子自旋方向相反，這樣的組合共有八種，如下所示：
粒子 1 粒子 2 N1 (a+,b+,c+) (a-,b-,c-) N2 (a+,b+,c-) (a-,b-,c+) N3 (a+,b-,c+) (a-,b+,c-) N4 (a-,b+,c+) (a+,b-,c-) N5 (a+,b-,c-) (a-,b+,c+) N6 (a-.b+.c-) (a+,b-,c+) N7 (a-,b-,c+) (a+,b+,c-) N8 (a-,b-,c-) (a+,b+,c+) - 重複這樣的實驗 N 次，設各種情況出現次數分別是 N1, N2,... N8. 自然的，N1+N2+......+N8 = N.
- 令 P(a+,b+) 表示 A 偵測器在 a 方向測得結果為正，B 偵測器在b 方向測得結果為正的機率．而 P(b+,c-) 表示 A 偵測器在 b 方向測得正，B 偵測器在c 方向測得負的機率，等等．例如，P(a+,b+) = (N3+N5)/N, P(b+,c-) = (N1+N4)/N．
- 現定義 a, b 方向的相關程度係數 E(a,b) 為
E(a,b) = P(a+,b+) + P(a-,b-) - P(a+,b-) - P(a-,b+)
注意到 E(a,b) = E(b,a)．它代表了 A, B 偵測器在 a, b 兩方向測量結果的相關程度．例如，在 a=b 時，P(a+,b+) = P(a-,b-) = 0, 而 P(a+,b-) =P(a-,b+) = 1/2, 因此 E(a,a) = -1. 這表示說若 A, B 偵測器被安排成測同方向的自旋分量，所得結果必定相反．又如，a=-b, E(a,-a) = 1, 即 A, B 的結果必相同．如果 a 和 b 相互垂直，則 P(a+,b+) = P(a-,b-) = P(a+,b-) = P(a-,b+) = 1/4,所以 E(a,b) = 0. 這是說如果兩偵測器所測的方向互相垂直，則兩者的結果沒有任何相關．由此可見這個定義符合我們對「相關」的直覺含義． - 根據定義，我們有
E(a,b) = (N3+N5+N4+N6-N1-N2-N7-N8)/N
同理E(a,c) = (N2+N5+N4+N7-N1-N3-N6-N8)/N
E(c,b) = (N3+N7+N2+N6-N1-N4-N5-N8)/N
現在因為 Ni (1≦i≦8) 都是大於等於零的整數，因此2(N3+N6-N2-N7) ≦ 2(N3+N6+N2+N7)
兩邊加上 N1+N4+N5+N8, 得2(N3+N6-N2-N7)+N1+N4+N5+N8 ≦ N3+N6+N2+N7+N
同除以 N, 得2(N3+N6-N2-N7)/N ≦ (N3+N7+N2+N6-N1-N4-N5-N8)/N + 1
我們發現不等式右邊即是 E(c,b) + 1, 而左邊是E(a,b) - E(a,c) = 2(N3+N6-N2-N7)/N
同理，-E(c,b) - 1 ≦ E(a,b) - E(a,c)
因此|E(a,b) - E(a,c)| ≦ 1 + E(c,b)
- 這就是著名的 Bell 不等式．這對任意方向的 a, b, c 而言都成立．
- 現在，讓我們來看看 Bell 不等式和量子力學的預測是否相符．我們要以量子力學的方法去計算 P(a+,b+), P(a+,c+) 以及 P(c+,b+). 令 S．a, S．b, S．c 的本徵態分別是 |a+>,|a->, |b+>,|b-> 和 |c+>,|c->. 例如，要計算 P(a+,b+), 我們假設粒子 1 進入 a 方向的偵測器得到結果為正(這機率顯然是1/2). 因此，粒子 2 必將處於 |a-> 的狀態．在 B 處我們測量粒子 2 的 b 方向自旋分量．按量子力學，我們必須將 |a-> 按 |b+> 和 |b-> 展開．如果 a, b 兩方向的夾角是 θab, 那麼結果是(up to a phase constant)
|a-> = sin(β/2 )exp(-iα/2)|b+> - cos(β/2)exp(iα/2)|b->
其中 α, β, γ=0 是 Euler 角(把 b 放在 z 軸上), β = θab. 如圖五所示．
sin2(θab/2)
因此P(a+,b+) = sin2(θab/2)/2
同樣的P(a-,b-) = sin2(θab/2)/2
以及P(a+,b-) = P(a-,b+) = cos2(θab/2)/2
所以E(a,b) = sin2(θab/2) - cos2(θab/2) = -cosθab = -a．b
同理E(a,c) = -cosθac, E(c,b) = -cosθcb |cosθac - cosθab| ≦ 1 - cosθcb
對任意的 a, b, c 皆成立． 
然而，我們發現這是不可能的．例如，讓 a, b, c 在同一平面上，而且 b 就在 a,c的角平分線上，如圖六所示．θab = 2θ，θab = θcb = θ，於是 cos2θ - 2cosθ + 1 ≧ 0 或 cos2θ ≧ cosθ
當 0 < θ < π/2 時，顯然是不可能的．- J.F.Clauser 及 M.A.Horne 等於 1969 年改進並推廣了 Bell 不等式．他們的方案是利用光子對的偏振(polarization)相關性．Clauser 等並提出了可行的實驗，檢驗 Bell 不等式．其它如 E.P.Wigner, A.Shimony, H.P.Stapp 等人也都相繼提出了類似的不等式．
- 由於 Bell 不等式完全基於 Einstein 的定域性原理，因此 Bell 定理提供了檢驗定域性原理的一項利器．如果實驗結果證實 Bell 不等式是對的，那麼就違反了量子力學的預測；相反的，如果實驗結果違背了 Bell 不等式，也就同時否定了 Bell不等式的前提，Einstein 定域性原理．終於，這場論戰又從哲學回到了物理，等待實驗來判定誰勝誰敗．