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從因次分析中找尋自然生命的極限

李志揚 編譯
< cyli@uboat.gsfc.nasa.gov >
美國航太總署(NASA)馬里蘭州Goddard研究中心工程師

目次


摘要

在複雜奧妙的生物界中有著許多乍看之下似乎是不相干的生存原理。直覺卻不失物理內涵的因次分析卻常能巧妙地透露出自然界這些似乎不相干的相似之處。

淺談因次分析

  許多理工科的學生們或許有著類似的經驗,當第一次上到流體力學、熱傳學時,常被隨之而來的眾多無因次量 (Dimensionless Numbers) 所困惑。不但這些無因次量裡的各類常數、變數組合令人眉頭緊繃,數值後面還有那些不甚熟悉的外文人名譯名。對於這些乍看像是拼湊的數量卻能使其人名不朽,更是覺得不可思議!課堂上的講解多半注重在數學上的推導演練,例如,如何從五個變數,三個因次中找到一個魔術數值。巧合的是這些練習多半提供了一些完美的數值,其結論則是更令人困惑。

  實際上這些著名的無因次量們皆有他們的物理意義為其內涵,有些可能十分明顯地,有些則需要巧妙或嚴謹的推敲。這些無因次量的源流也不是單純以數學推導。多半是以物理因次的平衡,例如不同的作用力或能量,來架構所要闡釋的物理現象,並由大量的實驗數據證明其存在的價值。深入了解其物理現象,與其所透露的因次,是定義這些數值的基本原理。有些推導是從架構模型方程式而來。在許多複雜的問題裡,有方程式並不代表太多的進展!但這些物理模型,或方程式,透過深入的探討,能可透露出其背後難以理解的現象,道理或內涵。而許多這些道理就伴隨在因次分析裡。

  因次分析在原本就已經十分複雜的生物學裡有著個吸引裡的特徵。他可避免我們迷失在極大變化的尺度裡。畢竟,生物界大小尺度的分怖超過10的8次方之上。例如,當我們觀察不同大小細胞的游泳速度時,其體積與表面積的比值才是決定的因素。而單是體積或是表面積都不足以透露其游泳速的快慢。以下我們就來看一些生物流體力學上的例子。

水面游速的限制

William Froude (1810~1879) 是英國皇家海軍的造船工程師,他最先從小尺寸的模型船的實驗數據中提出一個無因次量,Froude數:
 其中v是船的前進速度,g是重力加速度,l為特徵長度,在此處是前後船波的距離。物理意義上,Froude數是水流慣性動能與重力位能的比值。在一般的船舶航行狀況之下,船艏造成的波最遠延伸至船尾。這時我們說船隻以全船速前進,Froude數大約為0.16。當船隻快的速度前進,船波則產生十分不同的型態。這時前進的阻力會急遽上升。Froude數等於0.16的最適宜條件透露了一項重要的原則─愈長的船可以容易地達到愈快的速度。

100公尺長的船可達到28mph的航速,而10公尺長的航隻只能有4~8mph。回到一般生物的大小,明顯的游泳速度更是受到限制。水鴨的長度大約在30多公分左右,相對只得到1.6mph的速度。但若是完全沈入水底,阻力則急速下降,而鴨子可以以好幾倍以上的速度潛泳。生物有限的大小透露出為何連哺乳類動物,如海豚、鯨魚等,即使他們永遠需要浮到水面上攝取空氣,也都不以露出水面方式游動。

水下的空氣攝取

Froude數可以讓我們探究另一個有趣的現象。試想一些小型如昆蟲般的生物攀附在河裡的大石頭下面。它們能夠依靠一些水中的氣泡來攝取氧氣。如果河裡溶有充足的氧氣,這些氧氣可以從水中擴散氣泡裡。這時這些小型生物便可利用這些氣泡呼吸,相當於永久性的肺。但要達到這樣巧妙的平衡,氣泡裡的空氣壓力不能大過於一般的大氣壓,否則這些生物的呼吸便會有困難。水面的壓力大致與大氣壓平衡,但水下的深度會造成靜水壓。讓我們考慮氣泡壁周圍的壓力,水流在氣泡前端幾乎沒有速度,因此這裡的壓力最大。但水繼而迅速流過氣泡周遭,根據白努利 (Bernoulli) 定律,較高的流速減低了壓力,所以這裡氣泡內的壓力相對減低。

為了能使氣泡成為小生物肺功能的延申,由流速所降低的壓力必須與水深產生的正壓平衡。簡言之,亦是水流慣性動能與水深位能的平衡。以Froude數表示如下:

其中h是水深度,Cp則是水流慣性動能的壓力係數,通常從實驗觀察而來。通常小型的氣泡Cp值大約是0.2。以此計算,我們可以看出非常嚴厲的限制。以不算慢的1m/s的水流速來看,氣泡只能有幾公分的深度。要達到1公尺的深度,則必需有10m/s以上的高流水流通常只有於一些瀑布之下,或是強勁的碎波之下。西非甲蟲〈West African Beetle〉和一些蚊類的蛹利用這樣的方式生存。但也說明了為何這類型生物如此稀少的原因。

走在水上

表面張力對我們人類而言不過是個微不足道的現象,但對許多微小的生物來講,這可是它們維生的必備條件。有許多微小的生物可以在水上行走,它們的足部踏在水上以使用水面向上的表面張力來支撐它們的重量。這些生物多半是昆蟲或蜘蛛類等,從數厘米 (mm) 到一兩公分左右,我們可以透過一無因次數值更清楚的了解其作用的原理與限制。 Bond數,是重量與其表面張力之比:
分子是生物重量,分母中g是表面張力,l是與水接觸的表面周圍長度。假設在一清潔的水上,一個穿著9號大小鞋子的人必須只能重10克才能在水上站立。要能走的話大概只有5公克的體重了。但是一個只0.1公克的小昆蟲則所需不多,大約1.3厘米長的水面接觸便足夠了。這短短的長度平均分佈在4隻或更多的足部,許多足部排水性的纖毛更增加了與水接觸的長度,獲得充份的向上支持。正因如此,有些生物甚至可以在水面上垂直起跳,運用至少十倍以上的作用力。Bond數大致上與生物長度平方成正比,由此可見這功能是多麼不利於較大的生物。

樹木的水份吸收

表面張力與重力的相互作用對另一類生物而言可能還更形重要。我們最後來看看高大的樹木是如何從地面把水份吸上頂端的葉稍。試想在高大樹幹裡面的水份,假設其水柱不為任何空氣所阻斷,以純表面張力的力量能夠將根部的水份拉到多高呢?以長形圓柱形為樹幹導管的模型,平衡其中水的重力與水的表面張力,我們得到Bond數值為下:
同樣,此處g為水的表面張力,r為樹幹導管的半徑,h則為水份被表面張力向上拉所能達到的高度。Bond數值為1時大致趨於平衡。此時若以一般樹幹導管的0.05mm的半徑來看,表面張力只能將水份提高到3公尺左右。顯然對許多許多樹木而言,這是不夠的。

一般相信的理論是樹裡的水份為何得以懸在高鑾的樹幹裡是由於水份本身強大的黏滯力,也就是其水份是從樹梢上一路垂弔下來。但這不禁令人要問當樹葉上的水份被蒸發時,何以空氣不會進入其導管系統而破壞掉水份子結合的密閉性?

若我們仔細觀察樹葉上的水份導管系統,我們會發現導管半徑在葉子上是遠比樹幹裡還要微小,差不多在0.0001mm左右。這樣微小的導管可以將水上拉至1500公尺以上的高度,比任何所發現的樹木都還高出十倍以上。所以樹木的高度並不是受限於水份的吸收,微小導管的張力對重力而言仍是綽綽有餘的。

結論

無因次量在許多生物機械原理上呈現它們的巧妙分析。這其中,有些是已經能完備地應用在物理學上,有些是以生物學上的應用而變化其定義,但仍然有不少是較為獨特的創見。它們的貢獻包括:預知一些生物學上可能的極限、提供一些尺度上的比例分析、及解釋自然演變可能的方向。因次分析不論是回答了一些特例的問題,或是給了我們一些有用的方向,都為複雜的生物科學提供了些有趣的闡釋。

參考文獻

Vogel, S. (1998) Exposing Life's Limits with Dimensionless Numbers, Physics Today, Vol. 51, No. 11, pp.22-27.

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