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旋,或是不旋?這是個好問題

To Spin or Not to Spin, That’s the Question?

- For all Teammates -

李志揚 博士

Tru-Si Technologies Inc. 資深機械工程師

<cyli@trusi.com>

目次


兒時記憶 Nostalgia

 

  和同一世代在台灣長大的孩子們一樣,我對於棒球所帶來的魔力是不具有任何免疫力的。深夜兩三點起來觀看越洋衛星轉播已成為難忘的兒時記憶。當然隨著觀看的興奮,很快就引起了身體力行的夢想。為了實現這個夢,我與鄰的兒時玩伴們一樣,每天帶著破舊不堪的手套參與街頭即興比賽。變化球三個字似乎有如遙不可及的神話,即使我們是再努力的投,也無法領悟出其中的道理。這個技術上的停滯倒是可以諒解的。畢竟那時我們都是十歲剛出頭的少年不過

 

旋轉或是不旋轉? To spin or not to spin?

 

     幾年之後上了大學,對棒球的熱愛隨著中隊在起又湧了上來。當然,兒時那種夾雜著民族情緒或神話情結的夢早已經轉移多時。我第一個變化曲球 curve ball 已在能比賽中派上用場。曲球 curve ball ,滑球 slider ,上升快速球 rising fastball 和近幾年頗為矚目的切球 cutter (精於此球的表人物莫New York Yankees 的救援投手 Mariano Rivera) 都是屬於快速旋轉的變化球。這些變化球或因投出的手臂,手指動作不同,而造出不同的角度,弧度的差異。但是它們在空氣動力學上促使球改變方向的作用是大致相同的。

   相對於這一類的變化球,另一種廣為球迷津津樂道的是近乎不旋轉的變化球。莊勝雄的彈指球 knuckle ball 和郭泰源的指叉球 fork ball 皆屬於這一類。仔細想一想,要把一顆十多公分直徑的棒球迅速的投到18公尺外的捕手手套裡,而不帶什麼旋轉,似乎不是件容易的事。更不用說進入好球帶或讓打者揮棒落空了。然而,這類球真正令人著迷的地方在於它難以預測行徑 ! 許多彈指球因此被成為蝴蝶球 Butterfly ball

 

邪惡的滑球Wicked slider

 

   相信許多棒球愛好者們一樣,筆者在打擊區裡吃過不少滑球的苦頭。好的滑球如直球一般進入好球帶,等到打者扭腰揮棒之際,它卻像突然受過狂風吹襲一般被吹出好球帶。這時,不論你如何調整,延伸你的球棒,多半都難逃揮空棒的命運。

   如何能掌握打擊滑球的訣竅 ?  這深奧的問題只有留給各位教練們了。這裡,我們來探討一般旋轉類變化球的原理,它們如何與週遭的空氣流體互相作用而改變其行徑。

 

勢流模型 Potential Flow Model

 

   我們先來看一個流體力學模型 - 勢流 Potential Flow。所謂的勢流,是指流體本身沒有黏性 viscosity 流體粒子本身的密度不變,以及流體不具有任何的渦流值 vorticity。略作解釋如下,省略黏性viscosity 簡化了流體方程式的黏性項,更重要的是保全 conserve 了流體粒子在二維流場的渦流值,使得流體的渦流值為常數。

                                 

                                 

流體粒子的密度不變,導入流體物質守恆方程式則得到連續方程式 continuity equation:

                                          

在二維流體裡便是:

                                           

當所有二維流體的漩渦值皆為零時,根據定義

                       

簡略說明後,各位仔細看方程式 (3) (4)。由方程式 (3), 我們可定義一函數 Ψ ,使得

代入方程式(4)中,則是

這是所謂的 Laplace 方程式。 Ψ我們習慣上稱之為流場函數。

   我們省略不少細節,重要的論點是一旦我們解出了流場函數,我們就能由之求取各點流場速度,進而得知壓力與其它變數。而 Laplace方程式是非常容易算出解答,而且只有唯一解答的方程式。簡言之,在二維的勢流裡,只要邊界條件 boundary conditions 被確定,所有流場的變數亦為之確定,並不難被算出來。

 

   旋轉的球(在二維流場裡已被簡化成圓柱體,但此處並不影響模型的建立)是一個古典的勢流問題,因為它有著特殊數解,並不需要近代的快速電腦計算。我們仔細看它的邊界條件,一顆旋轉的球,假設在球的表面流體速度與球表面一樣,則在半徑r,轉速Ω的球上,流體在球表速度大小 U s=r˙Ω,方向則與半徑垂直,以此邊界值帶入流場函數的Laplace方程式,得到如下圖的流場分佈

 

 

 

   流場從左往右,或者說是球從右飛向左。流場在球上方較為疏,在下方則較密,也就是比較多的流體從下方流過。這表示流場流經球下方的球速度比較快。根據白努力定律 Bernoulli Theorem (流體快的地方造成較小的壓力),可以看出空氣對這個反時鐘旋轉的球是施於向下的力量! 仔細將壓力分佈積分之後,得到下壓力量為

                 是為球速 

從這個模型得到的結論是:棒球所受空氣側向的施力與其球速,空氣密度和環流量成正比。

 

風洞實驗 Wind Tunnel Experiments

 

      勢流模型所建立的理論對變化球的原理有著初步重要的解釋。但是實際上的現象是否與這個模型一樣呢 ?

   由勢流建立的數學方程式是根據在沒有黏性,而且沒有渦流值的流場。很多人馬上便要問道﹔如果沒有黏性,那麼無論球如何旋轉也不會影響週遭的流場吧 ? 也就是說,一顆轉的再厲害的球是會跟一顆不轉的球有一樣的流場 ! 這個觀察並沒有錯,但是也不是真正影響勢流模型。讓流場週邊速度等於球面轉動速度確實是人工附加的邊界條件,或許這並不符合其假設,但我們在意以此一條件補強原有模型的推演。

   棒球表面旋轉的確是經由空氣黏性才能使的週遭流場一起作用,因而有別於一顆沒有旋轉的球。但也因為黏性帶動強大剪力 Shear force,造成局部強勁的漩渦值,而且這些作用力只發生在靠近棒球表面附近的邊界層裡 Boundary layer 。在棒球的前端,這層薄薄的邊界層一直往流場下游延伸。由於棒球表面的粗糙,以及棒球縫線的不規則突起,原本保持平滑層流 Laminar 的流場迅速的產生強勁的渦流而轉變為紊流Turbulence,隨著下流的跡流 Wake flow 離開球體。F.N.M Brown [2] 在他1971年的風洞實驗照片清楚的顯示棒球附近的流場。

 

 

F.N.M Brown 1971年的風洞實驗結果

 

      從這風洞實驗可以看出幾點與我們原先勢流的差異。首先,流場只在棒球的前端的一半的地方持層流的狀態,過了中線之後,則是明顯的渦流夾雜,典型的紊流型態。第二,球體的轉動並沒有造成模型中的流場,而受影響的部分似乎只侷限在靠近球表面的邊界層裡。球下方的流場分佈確實似乎較為密,但並不如模型裡預測的那麼強烈。

   這個流場疏密並不十分明顯的事實當然引出了最關鍵的疑問 - 垂直於流場速度的作用力是從何而來 ?  仔細觀看整張圖片,棒球下游的跡流有著往上傾斜的方向。這表示棒球對流體有向上的作用力存在。或者,以反作用力的角度來看,流體對棒球施與向下的作用力 !

      而轉動中的棒球如何造成向上傾斜的跡流呢 ? 放大圖片中的 A B A B 裡,流場發生所謂的邊界層剝離現象separation ,剝離現象的產生與邊界層裡流體的動量有關。A 圖裡,球表面向上游移動,減低了邊界層裡流體動量,導致分離現象較早發生。B 圖則因球面向下游移動,延遲了分離現象的發生。二者交互作用之下,造成最後偏向上方傾斜的跡流,也就是棒球本身到向下的作用力。

 

彈指蝴蝶球Butterfly Kunckleball

 

      滑球與曲球的轉向的確令筆者常在打擊區裡望球興嘆。然而這類旋轉變化球仍有些模式可循,依據每個投手的習慣,或是球上紅線旋轉的方向,有時可以多少看出一些球路。

   另外一類的變化球如彈指球和指叉球,則是靠它們幾乎不旋轉的特性。來改變投球曲線。這乍聽之下十分之令人困惑吧 ! 我們用了這麼多的篇幅描寫球的旋轉如何造成球行徑的變化,為何現在又出現這類幾乎不旋轉的變化球呢 ?

      我一直記得第一次在本壘板後面接這些指叉球與彈指球的情形。隊友們投出來的球與一般直球起先並無差異,直到最後幾尺,眼見其應順勢進入捕手手套,這些球確實像石頭一般下沉,有些甚至往左右兩邊飄去。與一般曲球、滑球不同的是它們改變方向的方式,幾乎是毫無任何關係跡象,而且下沉之令打者完全不著球。當然,一路看似漂浮過來的棒球,也常令人難以判斷其距離的遠近。

 

為何漂浮擺動? Why Flutter?

 

      多年來這類彈指球一直帶著有神秘色彩。彈指球也因此獲得蝴蝶球的美名。還記得 1990 年代中期在匹茲保海盜隊的 Wakefield? 這位非常年輕的投手幾乎只投一種球,就是它的彈指球。這球速之慢讓人難以想像,畢竟這是美國職棒大聯盟 ! 但是這個看似慢動作的球在進入本壘板時通常有些大動作的變化。這球不只是下沉幾寸而已,它可以不定性的飄出正常行徑二呎以上 ! 最令人著迷的是從電視轉撥中,你還可以清楚的看出球上紅線幾乎不動的隨球而來。在這裡,同樣我們把如何投彈指球的難題交給各位投手指導教練們去煩惱,我們只就其流體動力學的觀點來看此一問題。

 

   在解開這個謎題之前,先看一個問題本身﹔試想一個完全光滑的球體放在一等速的風洞裡,會不會有任何橫向的作用力產生在球上 ? 這個看似直接的問題實際上指出了流體力學裡的基本觀念 - 當流速,流體黏性與物體大小的比例,也就是雷諾數 Reynolds Number UL/ν 增加時,流場的穩定性 stability 是無法存在的。等速的空氣流過棒球之後,是無法保持不的速度模式steady state。棒球下游的流場是隨時變化中的動態,即使此時棒球上游的流場仍然是保持等速的。

   了解流體的此一特性,回到彈指球的問題上或許就不會覺得如此突兀了。記住,實際上的棒球與一個平滑球體的模型是不大相同的。如前些章節談到的曲球與滑球一樣,彈指球在此同樣依賴著球上的縫線作為流體力學上重要驅動力。

 

實驗證明 Experimental Data !

 

       彈指球的研究在Watts & Sawyer 1974年的著作得到合理的解答。他們將棒球仔細地放在風洞裡,以不同的角度θ如圖下,然後仔細的測量棒球所受到的橫向作用力。

 

 

   實驗結果發現一些令人玩味的現象。橫向作用力在球上的大約從 0.1 lb往右到 0.1 lb往左不等。在 θ=140 220 時,作用力幾乎從0.08 lb 往一邊跳到0.08 lb 往另一邊。而在θ =52 時,作用力閃爍不定在兩個方向,大小差距約為0.18 lb ,週期則是每一秒或每兩秒一次。

這些奇妙的現象都回到棒球本身的構造,也就是球上的縫線。如前文中提到,這些用來綁住球皮的縫線,突起於球表面,造成流體的剝離現象。 流體是否會分離於球表面與流速及縫線位置有關。當球在這些提及的角度時,剝離現象會從較為上游的縫線突然跳到較為下游的縫線,或者是從下游跳向上游。由此,不但作用力突然增加或減少,方向亦受到改變。試想一個緩慢旋轉的球經過這些突然改變的作用力,再接近本壘當其速較慢時,其行徑變化便益加明顯。這就是為何這類棒球那麼難以捉摸的原因。

 

後記: 在家一試? Try it at home?

 

       許多人以為手掌必須大到某一種程度才能投出彈指球。筆者在密西根唸書時常與同窗好友 Pete 在校園裡丟球。 Pete 是彈指球的能手,從他打少棒時便學會。他的三根手指輕放在球上,然後以熟練的投球動作 ( 與直球完全看不任何不一樣 ) 與精確的放球時機將球投出。對他而言,棒球大小不是問題。給他一顆壘球,他照樣彈指出去 ! 我學了許久,成功率從來不超過百分之十。證明人的資質顯然比手掌大小來的重要的多。流體力學方面,倒是無須操心。只要球速,旋轉,角度適當,變化一定會發生 !

 

參考文獻

 

[1]  Aerodynamics of Sports Balls, Metha, R.D., Annual Review of Fluid Mechanics 1985, 17:151-89

 

[2]  Effects of Spin and Speed on the Lateral Deflection (Curve) of a Baseball; and the Magnus Effect for Smooth Spheres, Briggs, L.J. 1959, Am. J. Phys ., Vol.27, pp.589—596.

 

[3]  Aerodynamics of a Knuckleball, Watts, R.G. and Sawyer, E. 1975, Am. J. Phys., Vol.43, No.11, pp.960-963.

 

 

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